Hidrojen Atomu ve Bohr Modeli

Hidrojen Atomu ve Bohr Modeli

İngiliz fizikçisi J.J. Thomson elektronları, üzümlü kekteki üzüm taneleri gibi, sürekli artı yük dağılımı içine gömülmüş eksi yüklü tanecikler olarak ele alarak bir atom modeli geliştirmişti. E. Rutherford’un yaptığı, α parçacıklarının metal plakalardan saçılma deneylerinin sonucu bu model yardımıyla açıklanamadı.

Kendi kuramsal açıklamalarına dayanarak 1911’de Rutherford’un geliştirdiği başka bir atom modeli ön plana çıktı. Rutherford atom modelinde, atomun tüm artı yükü ve hemen hemen tüm kütlesi atomun çekirdeği denilen, atomun boyutuna göre çok küçük bir bölgede yoğunlaşmıştır. Çekirdek tarafından 1/r²ile orantılı bir kuvvet ile çekilen elektronlar ise, çekirdek tarafında tıpkı gezegenler gibi kendi yörüngelerinde dolanırlar.

α parçacıklarının atomlardan saçılmalarını nicel olarak iyi açıklamasına karşın Rutherford atom modelinin klasik fizik açısından giderilemeyen iki önemli güçlüğü vardı. Bunlar; (i) atomların kararlılığı ve (ii) atom spektrumlarının kesikliğinin açıklanamamasıydı.

Rutherford modelinde elektronlar eğrisel yörüngelerinde ivmeli hareket yapan her yüklü parçacık gibi ışık yayarak enerji kaybetmelidirler. Enerjileri azalan elektronların yörünge yarıçapları giderek küçüleceği için bunlar sonunda çekirdeğin üstüne çökmelidirler. Klasik fizik yasalarına göre bu çöküş 10^-10 saniye gibi kısa bir sürede olur. Bu modele göre bütün atomlar kararsızdır. Bu ise açıkça bir çelişkidir, çünkü çevremizde atomlardan yapılmış herşey kararlı bir yapıdadır

Yukarıda değinilen ikinci güçlük ise şu idi: ivmeli hareket eden elektronların yayacağı ışınım frekansı dolanım frekansıdır. Elektronun çöküşü esnasında yarıçaplı bir spiral üzerinde sürekli azaldığından dolanım frekansı, dolayısı ile yapacağı ışınımın frekansı da sürekli şekilde değişmeli idi. Halbuki akkor haldeki gazların (gazı oluşturan atomun yapısına bağlı olarak) belirli renklerde kesikli spektruma sahip ışıma yaptıkları 18. Yüzyıldan beri bilinmekte idi. Örneğin hidrojen atomunun görünür bölgede ışıdığı renklerin dalgaboylarının ampirik olarak,

şeklinde bir bağıntı ile ifade edilebileceği 1885’te J.J. Balmer tarafından bulunmuştu. Burada n₂>n₁ olmak üzere ve birer tamsayı ve R deneysel olarak 1,096810⁵ cm^-1 şeklinde bulunmuş bir sabittir. R’ye Rydberg sabiti, n₁=2 ve n₂=3,4,5....  için bulunan diziye de Balmer serisi denir. Daha sonraları yukarıdaki bağıntının hidrojenin tüm spektrumunu da açıkladığı anlaşıldı. n₂>n₁olmak üzere n₁=1,2,3,4,5.... serileri sırası ile Lyman, Paschen, Brackett ve Pfund serileri olarak adlandırıldı.

Rutherford atom modelinin ortaya atılışından iki yıl sonra Niels Bohr 1913’te atomların ışıma spektrumlarının kesikliliğini ve kısmen de kararlılığını açıklayan iki varsayım ileri sürdü. Bohr varsayımları olarak bilinen bu varsayımlar şunlardır:

• Bir atomdaki elektronun açısal momentumu  L=n.h.n/2π şeklinde kuantumludur. Böyle bir elektron bulunduğu yörüngede ışıma yapmadan dolanır. Bu bağıntıya Bohr kuantumlama koşulu denir.
• Bir elektron izinli yörüngeler arasında ani geçişler yapabilir ve bu yörüngelerin enerji farkı ΔE, v=ΔE/h frekanslı bir ışıma olarak ortaya çıkar. Atomlar, elektronlarını daha yüksek enerjili yörüngelere çıkaracak şekilde enerji soğururken de yine bu bağıntıya uyarlar.

            Bohr varsayımlarının sonuçlarını görmek için bunları hidrojene benzeyen tek elektronlu bir atoma uygulayalım ve basit olması için elektronun r yarıçaplı çembersel bir yörüngede bulunduğunu varsayalım. Kütlesi çok büyük olduğundan çemberin merkezinde durgun kabul edilen çekirdeğin Ze yükü ile elektronun -e yükü arasındaki Coulomb kuvveti, elektrona v²/r merkezcil ivmeli düzgün çembersel hareket yaptırır. Burada Newton’un ikinci hareket yasasından yararlanarak (Gauss birim sisteminde)

yazılabilir. Çembersel yörünge için açısal momentum L=m.v.r şeklindedir. Bohr kuantumlama koşulunu kullanarak  ve buradan bulunan  ifadesini yukarıdaki ifadede yerine koyarsak r yörünge yarıçaplarının

 

şeklinde kuantumlanmış olduğunu görürüz. Burada

 

uzunluğuna hidrojenin bohr yarıçapı denir. Yukarıdaki ifadeyi bağıntısında kullandığımızda, υ’nin de

şeklinde kuantumlanmış olduğunu görürüz. Burada

 

sabitine ince yapı sabiti adı verilir. Artık elektronun

toplam enerjisinin

şeklinde kuantumlanmış olduğunu göstermek zor değildir.

           Yukarıdaki bağıntı ile ifade edilen enerjilere hidrojenin enerji düzeyleri denir. En düşük enerji düzeyi, n=1 için bulunan E₁=-13,6 ev enerjili düzey olup buna hidrojenin taban durumu enerjisi denir. Taban durumunda yörünge yarıçapı en küçük ve a₀=0,53 Å değerine eşittir. Taban durumundaki dolanım sürati c ışık hızının α=1/137 katıdır. En yüksek düzeyde E=0 olup bu n→∞ limitine karşı gelmektedir. Bu durumda yörünge yarıçapı da r→∞’e gideceğinden artık elektron ile çekirdek birbirinden tamamen ayrılmışlardır. Elektronu taban durumundan E=0 durumuna geçirmek için gerekli minimum enerji 13,6 ev olup buna hidrojenin iyonlaşma enerjisi denir. E=0’dan sonra elektron her enerji değerini sürekli alabildiği serbest durumdadır. 

            Hidrojenin ışıma spektrumunun kesikliliği artık kolayca ifade edilebilecektir. Atom uyarılmış bir düzeyden daha düşük bir enerji durumuna geçerken aradaki enerji farkına eşit enerjili bir foton yayar. Buna göre n₂>n₁olmak üzere n₂→n₁ geçişinde yayınlanan fotonun dalgaboyu

 şeklinde ifade edilebilir. Böylece H atomunun bütün serileri elde edilirken, deneysel olarak ölçülen R Rydberg sabitinin de

şeklinde temel doğa sabitleri cinsinden bir ifadesi elde edilmiş olur.

            Atomların kararlılığı için ise şu açıklama getirilmiştir. En düşük izinli enerji düzeyi n=1 taban durumudur. Taban durumunda bulunan kararlı olarak kalır. Diğer uyarılmış durumlar kararsız olup bu durumların birinde bulunan atom foton salarak kararlı kaldığı taban durumuna geçiş yapar.

            Hidrojen atomunda çembersel yörüngelerde dolanan elektron için kolayca uygulanabilen Bohr kuantumlamakoşulu, eliptik yörüngelere ve diğer periyodik hareketlere de uygulanabilecek şekilde Sommerfeld ve Wilson tarafından genelleştirildi. Bunu ifade edebilmek için (q_i,p_i),i=1,2,...N kanonik koordinatlarına sahip N serbestlik dereceli bir sistemi gözönüne alalım. Her periyodik (q_İ,p_i) kanonik çifti için yazılan, faz uzayındaki  integrali eylem (yani açısal momentumun)boyutunda bir nicelik olup burada integral q_inin faz uzayındaki bir tam devri üzerindedir. Buna göre Sommerfeld-Wilson kuantumlama koşulu şöyle yazılır:

            Bu yeni kuantumlama koşulu H atomunun eliptik yörüngelerine uygulandığında bunların da kesikliliğini ve ayrıca dejenereliğini açıklayabilmesine karşın sadece periyodik hareketlere uygulanabilmektedir.

            Bohr modelinde elektronlar klasik noktasal parçacıklar olarak ele alınır. 1924’te de Broglie, H atomunda çembersel yörüngenin çevresinin elektronun de Broglie dalga boyunun tamsayı katına eşit olması koşulunun Bohr kuantumlama koşuluna denk bir koşul olduğunu gösterdi. Gerçekten elektronun sürati v ve yörünge yarıçapı r ise n.λ=2.π.r koşulu, L=m_ev.r  koşuluna eşittir. Böylece elektronun çekirdeğin etrafındaki hareketinin salt klasik noktasal parçacık hareketi olmadığı, bu harekette de dalga karakteri olduğu anlaşıldı.

Elektronun dolandığı yörüngenin çevresinin de Broglie dalga boyunun

tamsayı katı olması L=n.h/2π Bohr kuantumlanma koşuluna denktir